cho a,b,c,d cùng dấu. cmr:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 4 2020
Ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c+d\right)}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\)
Xét \(\sqrt{a\left(b+c+d\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
(a,b,c,d>0)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\\\sqrt{\frac{c}{b+a+d}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\\\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)\(\ge\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)
Đến đây tự xử lí phần dấu "="
KN
18 tháng 2 2020
Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+\frac{4x^2}{x^2+1}\ge3x\)
Thật vậy: \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}-x\right)+2\left(\frac{2x^2}{x^2+1}-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+2x}-\frac{2x}{x^2+1}\right]\ge0\)
Bây giờ ta quy về chứng minh: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}}\ge\frac{2x}{x^2+1}\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2\ge4x\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+1+2x^3+2x\ge2x^2+4x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge x^2+2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)
Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM:
\(\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge\left(\frac{x^4+1}{2}+x^2\right)+x^2\ge2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+x^2\)
Vậy hoàn tất chứng minh trên nên ta có:
\(\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\frac{4a}{a+1}\ge3\sqrt{a}\);\(\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\frac{4b}{b+1}\ge3\sqrt{b}\)
\(\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}+\frac{4c}{c+1}\ge3\sqrt{c}\); \(\sqrt{\frac{d^2+1}{2}}+\frac{4c}{d+1}\ge3\sqrt{d}\)
Cộng từng vế của các bđt trên. ta được: \(\text{Σ}_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)\)
\(-4\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\right)\)\(=3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)-8\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
16 tháng 7 2020
tai sao \(\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2020
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\); \(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Dấu "=" không xảy ra nên \(VT>2\)
1 tháng 8 2016
sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)
theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)
ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)
(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
T
7 tháng 9 2019
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
P
6 tháng 9 2018
a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)
Thôi làm luôn tìm ko ra thì chỉ phí time
Ta cm bổ đề
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\le\frac{a+b+c+d}{2a}\)
\(=\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\ge\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\) (đúng)
Tương tự cho 3 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT\ge\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2=VP\)
bài này vừa làm hôm qua xong chả nhớ ở web nào cả
nhưng c/m \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\) bằng AM-GM nhé đợi t tìm link cho đỡ phải làm lại